La calculette à l'école

 

La calculette et l’école

La bataille de l’an 2000

(montage musée)

Auxiliaire de résolution ou outil pédagogique ?

Voilà la question. La réticence majeure des « anciens » maîtres fut sans nul doute la peur de voir ce nouvel outil se substituer en partie à des techniques de calcul mental dont l’apprentissage était cher à leurs yeux. Leur volonté fut alors d’en limiter et d’en contrôler la présence dans leur classe. Contre vent et marées, les programmes de 1995 en préconiseront l’usage dès le CE2 et ceux de 2002 proposeront des pistes d’activités dès la classe de CP. Il ne restait plus qu’à articuler l’utilisation de la calculette avec l’apprentissage des bases de calcul… (Dans cet article, faites connaissance avec la « Pascaline »)

Lot de calculatrices scolaires « pour filles », une manne commerciale (joom.com)

À l’orée de l’an 2000, alors même que l’usage des calculatrices est désormais banalisé, une vaste consultation des enseignants, avant la mise au point de nouveaux programmes, révèle un très large accord sur la presque totalité des futures orientations et, notamment, sur la priorité à accorder à la résolution de problèmes et au calcul mental. Seul point d’achoppement, la majorité des enseignants du cycle 2 désapprouvent l’introduction des calculatrices dans les programmes… Parallèlement, les avis sont partagés parmi ceux du cycle 3 : la moitié approuve la place faite à ce nouveau moyen de calcul et l’autre moitié pense que son utilisation aura des conséquences négatives sur les apprentissages du calcul.

Était-il opportun alors de mettre la calculatrice entre les mains des élèves ? La commission « mathématiques » prit acte de la position des enseignants et porta sa réflexion sur plusieurs points : l’école peut-elle ignorer les changements importants provoqués par l’arrivée dans la société de moyens « modernes » de calculer ? Comment peut-elle les introduire en tenant compte des réticences culturelles des parents d’élèves ayant encore une représentation traditionnelle de la maîtrise des techniques de calcul ? Et enfin, l’utilisation de la calculatrice à l’école est-elle compatible avec les apprentissages mathématiques définis depuis des décennies et va-t-elle agir sur le niveau souhaité à la fin de la scolarité obligatoire ? 

Logiciel éducatif

En termes clairs : l’enseignement des techniques opératoires sera-t-il affecté par cet autre moyen de calcul ? Peut-être que oui, peut-être que non, le débat s’engagea. La commission considéra que l’apprentissage des techniques opératoires ne devait pas être qu’un simple développement d’automatismes, et c’est heureux. Elle confirma que cet apprentissage concourait à découvrir et utiliser des connaissances sur les nombres et les opérations, et que comprendre et  justifier le fonctionnement de ces techniques était bien faire « des mathématiques » (1). Quant au calcul mental, sa maîtrise devait demeurer essentielle puisqu’il permettait de mémoriser un répertoire de résultats et de procédures immédiatement disponibles qui permettraient d’articuler intelligemment le raisonnement et le calcul pour obtenir des résultats exacts ou approchés, ce que les futurs programmes nommeront le « calcul réfléchi ». Dès lors, la pratique mathématique de la distinction calcul exact/calcul approché ne devait-elle pas permettre  de contrôler un résultat obtenu avec une calculatrice ?

Par contre, la même commission conclut que « l’apprentissage du calcul assisté par une calculatrice ou un ordinateur doit donc être pensé dans sa complémentarité avec celui des autres moyens de calcul. Il serait absurde que l’école n’apprenne pas aux élèves à se servir d’outils qui sont à leur disposition dès qu’ils ont franchi le seuil de la classe. Il serait tout aussi aberrant de se priver des possibilités qu’offrent ces outils pour enrichir le travail mathématique des élèves. Mais, il serait irresponsable de ne pas voir les dangers que peut comporter une utilisation aveugle de ces machines. » D’où la question : comment envisager des situations pertinentes et intelligentes servant de cadre à l’utilisation de la calculatrice à l’école élémentaire ?

Révolte à l’anglaise ! 1986

 

Exemple d’approche

La pratique du jeu mathématique se prête bien à la notion de complémentarité de la calculatrice à l’école. D’aucuns laissent entendre que l’utilisation de la calculatrice contrecarre l’apprentissage des tables, d’autres pensent, au contraire, qu’elle peut aider à la mémorisation de ces dernières. Dans l’exemple qui va suivre, la calculatrice va être utilisée dans la pratique du calcul mental au CE1, non pas pour fournir une réponse, mais bien pour valider une réponse à un calcul élaboré par l’élève :

Un élève (A) tape une somme de deux nombres inférieurs à 10 (il tape par exemple 7 [+] 6, sans appuyer sur [=]). Il passe la calculatrice à un autre élève (B) qui, avant d’appuyer sur [=] et rapidement, doit annoncer le résultat (y compris par une traduction de l’opération papier/crayon). L’appui sur [=] permet de contrôler la réponse donnée. Si elle est correcte, le joueur B marque 1 point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôles sont ensuite inversés. Le premier élève qui atteint 10 points gagne la partie. Ce jeu peut être un travail en autonomie, en l’absence du maître. Dans ce cas de figure, de nombreux autres jeux peuvent être imaginés en fonction des objectifs visés.

Le plus souvent, les élèves font un usage minimum de leur calculatrice, réduit aux calculs liés aux quatre opérations. La machine possède des possibilités méconnues au cycle 2, au cycle 3 de les explorer. Prenons l’exemple de la division euclidienne, la calculatrice ordinaire ne possède que la touche [÷], comment obtenir le reste ? Les élèves ont parfois tendance à penser à juste titre que s’il n’y a pas de virgule dans le résultat, c’est qu’il n’y a pas de reste, dont acte, et que si le résultat comporte une virgule, le quotient correspond à ce qui est affiché à gauche de cette dernière, et le reste à ce qui est affiché à droite. Ce qui ne se vérifie pas en faisant la fameuse « preuve » dividende = diviseur x quotient + reste. La calculatrice ne fournit pas le reste, ou plutôt, il est possible de le calculer en utilisant la réflexion et les connaissances relatives à la division en utilisant l’égalité caractéristique de la division euclidienne. Là encore, la calculatrice ne fait que calculer et les élèves sont contraints de mettre en œuvre des connaissances  acquises lors d’apprentissages de concepts importants. L’élève doit alors comprendre que la calculatrice n’est en réalité que le support du questionnement mathématique et non le moyen d’y répondre.

Remise traditionnelle de calculatrices aux CM2 à l’école de Crissey (71) pour l’entrée en 6e (info-chalon.com)

Conclusion provisoire

Deux impératifs ont primé quant à l’utilisation de la calculatrice  à l’école : d’une part l’enseignant doit rester maître du choix du moment de l’utiliser et, d’autre part, c’est la réflexion de l’élève qui doit être privilégiée, il doit percevoir les limites et les possibilités de cet outil afin de l’utiliser à bon escient. En effet, dans l’esprit de l’élève, la calculatrice ne doit rester d’abord qu’un auxiliaire de calcul, rapide et fiable, et, pour cela, il est important qu’il en ait la maîtrise des « touches ». L’école doit donc en enseigner le bon usage : dans certaines leçons, son utilisation peut être bénéfique, dans d’autres, il est plus pertinent de recourir à d’autres moyens plus formateurs, notamment au calcul mental dont la maîtrise peut s’avérer d’une redoutable efficacité en l’absence de calculatrice : 15 x 14 ? Insurmontable ? Sauf si l’on sait que c’est 10 x 14 + la moitié du résultat obtenu, ou encore que 15 x 14 = 30 x 7, facile...  Finalement, comment répondre aux questions posées en préambule de cet article ? La réponse ne semble pas être « ni oui, ni non » mais plutôt « oui et non », si tant est que la formation des enseignants à cet exercice soit passée par une réflexion claire et un travail sur les apports de la calculatrice à l’école.    

Une version de la Pascaline sans sols ni deniers. © Musée des Arts et Métiers

Si Pascaline m’était contée…

Et si la première calculatrice « mécanique » avait été inventée par un philosophe ? Et si elle datait de 1645 ? Pourquoi pas, si ce philosophe  angoissé, qui déclarait « Le silence éternel de ces espaces infinis m’effraie » (alors que 100 ans auparavant son confrère Giordano Bruno rêvait de l’immensité du cosmos), était avant tout, un homme de sciences, mathématicien, physicien et inventeur qui donna son nom à l’unité de mesure de la pression.

Tout le monde aura bien sûr reconnu Blaise Pascal. Enfant brillant à qui son père ordonne de suspendre ses études de sciences jusqu’à ce qu’il eût appris le latin et le grec… alors qu’à 12 ans, il publiait déjà son Traité des sons. Il laisse, malgré tout, ses oreilles « traîner »  dans les entretiens de ce père scientifique avec Roberval (autre inventeur) ou Descartes. À 15 ans, Blaise s’adonne seul à l’apprentissage de la géométrie et publie à 16 ans son Essai sur les coniques. En 1642, Blaise vient d’avoir 19 ans et, depuis deux ans, il travaille à la conception d’une « machine à calculer », pour paraît-il aider son père qui vient d’être nommé surintendant  de la Haute-Normandie par Richelieu. Le premier exemplaire fonctionnel de sa machine est prêt cette année-là, le calcul mécanique est né avec la « Pascaline ».  

(Sciences et Avenir)

Inventée en 1630, la règle de calcul circulaire d’Oughtred était l’outil de calcul le plus performant pour les scientifiques, mais les comptables calculaient toujours « à jets et à plumes », c’est-à-dire s’aidaient de jetons et transcrivaient à la plume. C’était un travail complexe alors que le système monétaire n’était pas décimal : une livre valait 20 sols (à l’origine la livre romaine correspondait à 327 grammes d’argent pur), le sol (ou « sou » (2)) valant 12 deniers… Ce système dura jusqu’à la décimalisation du franc à la Révolution (1795). Dans un temps record, Blaise mis au point sa nouvelle machine : « Reconnaissant dans toutes, ou de la difficulté d’agir, ou de la rudesse aux mouvements, ou de la disposition à se corrompre trop facilement par le temps ou par le transport, j’ai pris la patience de faire jusqu’à plus de cinquante modèles, tous différents, les uns en bois, les autres d’ivoire et d’ébène, et les autres de cuivre, avant que d’être venu à l’accomplissement de la machine que maintenant je fais paraître ; laquelle, bien que composée de tant de petites pièces différentes, comme tu pourras voir, est toutefois tellement solide, qu’après l’expérience dont j’ai parlé ci-devant, j’ose te donner assurance que tous les efforts qu’elle pourrait recevoir en la transportant si loin que tu voudras, ne sauraient la corrompre ni lui faire souffrir la moindre altération. » Pascal, Le Guide la machine arithmétique.

Le secret dévoilé (Sciences et Avenir)

En résumé, la Pascaline est un petit bijou de technologie qui ne trouvera pas preneur de suite, du fait de son prix exorbitant allant selon sa confection, de 100 à 400 livres, soit de 3 500 à 14 000 euros de nos jours. Blaise n’aura de cesse de perfectionner son invention afin d’en réduire le coût jusqu’en 1654, date de l’accident qui le fera se retirer du monde scientifique. La Pascaline sera cependant la seule « machine arithmétique » qui entrera au Panthéon de l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert, bien qu’un certain Leibniz ait repris les travaux de Blaise en y ajoutant les fonctions de multiplication et de division. 

La machine arithmétique, 1779 (wikipedia)

Description succinte de la Pascaline

Le mode d’emploi de la Pascaline est « merveilleusement » simple paraît-il. Comme souvent, une vidéo vaut mieux qu’un long discours. En voici donc quelques-unes pour attiser votre curiosité et ensuite poursuivre vos investigations :

Cliquez ici pour voir la vidéo 1

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Pascal gardera son secret

Paradoxalement, s’il fournit quelques explications sur le fonctionnement simple de sa machine, il ne fournit aucun détail sur sa mécanique interne. Il rétorque aux interrogations de ses contemporains que « ce serait trop compliqué de le faire par écrit ». Peut-être qu’en réalité, Pascal ne veut pas dévoiler ses secrets… Toujours est-il que ce ne seront que les planches de l’Encyclopédie, qui, un siècle plus tard, lèveront le voile sur les mécanismes internes de la Pascaline !

En attendant, Blaise avait voulu mettre  sa machine à l’abri des contrefaçons. C’est ainsi qu’il obtint, en 1649, un privilège signé du roi de France, interdisant à quiconque de fabriquer une machine arithmétique sous peine d’une forte amende. Privilège ancêtre du brevet, en quelque sorte, puisque ce dernier n’existait pas encore…

La retenue : un problème brillamment résolu

La conception de la Pascaline ne posait pas de problèmes à Blaise, jusqu’à l’apparition de la retenue… Le mécanisme d’entraînement très simple de base permettait d’effectuer une addition et de faire apparaître « automatiquement » le résultat : les sommations se faisaient indépendamment  par des roues figurant les chiffres des unités, des dizaines, des centaines, etc, toutes limitées à 9. Mais voilà que si la roue des unités arrive à 9 et doit être incrémentée d’une nouvelle unité, se pose le problème de la retenue. Blaise dut inventer un système qui permettait de faire avancer concomitamment la roue des dizaines, première difficulté, immédiatement rattrapée par une seconde : cette opération devait éventuellement s’effectuer en cascade, lorsque le processus opératoire atteignait 999 par exemple et qu’il fallait ajouter 1 pour arriver à 1000 ! 

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Évidemment, Blaise trouva la solution en inventant un système de « sautoir en cascade » dont nous ne détaillerons pas le fonctionnement ici, mais il est remarquable que cette invention traversa les âges puisqu’elle accompagna l’évolution des calculateurs numériques jusqu’à l’apparition des calculateurs électroniques de comptage, notamment les compteurs kilométriques des voitures…

En guise de conclusion

Il ne reste de nos jours que neuf Pascalines conservées : quatre sont au musée des Arts et métiers à Paris, deux sont au Muséum d’histoire naturelle de Clermont-Ferrand (ville natale de Blaise), une est au musée de Dresde, une est dans les collections de l’entreprise IBM qui en avait fait reproduire une centaine d’exemplaires dans les années 1960 pour offrir à ses clients et une dernière qui est dans une collection particulière. Toutes ont le même principe de fonctionnement si ce n’est que certaines diffèrent des autres par leur facture prouvant ainsi qu’il y eut plusieurs types de fabrication et d’adaptation aux tâches : machines décimales pour le calcul, machines pour l’arpentage, machine adaptées pour la comptabilité (10 chiffres pour les livres, de 20 chiffres pour les sols et de 12 chiffres pour les deniers).

Pour l’anecdote : la machine à faire les quatre opérations mécaniquement présentée ci-dessous, est le modèle Brunsviga  Nova 13 fabriqué jusqu’en 1943.

Machine à multiplier Brunsviga, 1930 (youtube.com)

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Elle fut bien sûr perfectionnée par la suite mais, à la fin des années 1960 et au début des années 1970, au lycée Parriat de Montceau, les cours de comptabilité se faisaient toujours à l’aide de ce type de machines. Hé oui, à cette époque, on tournait toujours la manivelle ! Notons tout de même que la salle de cours était équipée d’une seule et unique volumineuse calculatrice à affichage électronique qui avait été offerte par une société ayant renouvelé son matériel, une aubaine…    

Sources et bibliographie :

-       René Taton, Le Calcul mécanique, Que sais-je ? N°367, 1949.

-       Guy Mourlevat, Les Machines arithmétiques de Blaise Pascal, La Française d’Edition et d’Imprimerie.

-       Pierre Charrier :

 http://calculmecanique.chez-alice.fr/francais/Pascaline/Pierre_Charrier.htm 

-       Yves Serra :  http://pagesperso-orange.fr/yves.serra/pages/pascaline.htm

-       Thérèse Eveilleau :

http://pagesperso-orange.fr /therese.eveilleau/pages/truc_mat /textes/pascaline.html

(1) : Dans les programmes de mathématiques de l’école élémentaire mis en œuvre à partir de la rentrée 2002, dès le cycle 2 apparaît la rubrique « Calcul instrumenté », avec l’énoncé des compétences devant être acquises à la fin de chaque cycle :

Cycle 2 : 

-       Utiliser à bon escient une calculatrice (en particulier pour obtenir un résultat lorsqu’on ne dispose pas d’une méthode de calcul).

Cycle 3 :

-       Utiliser à bon escient sa calculatrice pour obtenir un résultat numérique issu d’un problème et interpréter le résultat obtenu.

-       Utiliser une calculatrice pour déterminer la somme, la différence de deux nombres entiers ou décimaux, le produit de deux nombres entiers ou celui d’un nombre décimal par un nombre entier, le quotient entier ou décimal (exact ou approché) de deux entiers ou d’un décimal par un entier.

-       Connaître et utiliser certaines fonctionnalités de sa calculatrice pour gérer une suite de calculs ; touches « opérations », touches « mémoires », touches « parenthèses », facteur constant.

 (2) : Par tradition, on a continué à appeler « sou » le vingtième du franc. Du temps de ma jeunesse (avant les Nouveaux Francs), ma grand-mère appelait toujours ces deux pièces de 2 et 5 « anciens francs », la pièce de 20 « sous » et la pièce de 100 « sous ». Elles ne valaient déjà plus grand chose et étaient frappées en « alu » comme on disait. Avec la pièce de 20 sous, on avait quand même un petit caramel plat d’1cm2 chez la « Marguerite » (épicière aux Bois-Francs),  avec l’espoir d’en trouver un de couleur rose qui nous en faisait gagner 1 gratuit !